Java矩阵连乘问题(动态规划)算法实例分析

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本文实例讲述了java矩阵连乘问题(动态规划)算法。分享给大家供大家参考，具体如下：

问题描述：给定n个矩阵：a1,a2,…,an，其中ai与ai+1是可乘的，i=1，2…，n-1。确定计算矩阵连乘积的计算次序，使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。输入数据为矩阵个数和每个矩阵规模，输出结果为计算矩阵连乘积的计算次序和最少数乘次数。

问题解析：由于矩阵乘法满足结合律，故计算矩阵的连乘积可以有许多不同的计算次序。这种计算次序可以用加括号的方式来确定。若一个矩阵连乘积的计算次序完全确定，也就是说该连乘积已完全加括号，则可以依此次序反复调用2个矩阵相乘的标准算法计算出矩阵连乘积。

完全加括号的矩阵连乘积可递归地定义为：

（1）单个矩阵是完全加括号的；
（2）矩阵连乘积a是完全加括号的，则a可表示为2个完全加括号的矩阵连乘积b和c的乘积并加括号，即a=(bc)

例如，矩阵连乘积a1a2a3a4有5种不同的完全加括号的方式：(a1(a2(a3a4)))，(a1((a2a3)a4))，((a1a2)(a3a4))，((a1(a2a3))a4)，(((a1a2)a3)a4)。每一种完全加括号的方式对应于一个矩阵连乘积的计算次序，这决定着作乘积所需要的计算量。

看下面一个例子，计算三个矩阵连乘{a1，a2，a3}；维数分别为10*100 , 100*5 , 5*50 按此顺序计算需要的次数((a1*a2)*a3):10x100x5+10x5x50=7500次，按此顺序计算需要的次数(a1*(a2*a3)):10*5*50+10*100*50=75000次

所以问题是：如何确定运算顺序，可以使计算量达到最小化。

算法思路：

例：设要计算矩阵连乘乘积a1a2a3a4a5a6，其中各矩阵的维数分别是：

a1：30*35; a2：35*15; a3：15*5; a4：5*10; a5：10*20; a6：20*25

递推关系：

设计算a[i:j]，1≤i≤j≤n，所需要的最少数乘次数m[i,j]，则原问题的最优值为m[1,n]。
当i=j时，a[i:j]=ai，因此，m[i][i]=0，i=1,2,…,n
当i<j时，若a[i:j]的最优次序在ak和ak+1之间断开，i<=k<j,则：m[i][j]=m[i][k]+m[k+1][j]+pi-1pkpj。由于在计算是并不知道断开点k的位置，所以k还未定。不过k的位置只有j-i个可能。因此，k是这j-i个位置使计算量达到最小的那个位置。

综上，有递推关系如下：

构造最优解：

若将对应m[i][j]的断开位置k记为s[i][j]，在计算出最优值m[i][j]后，可递归地由s[i][j]构造出相应的最优解。s[i][j]中的数表明，计算矩阵链a[i:j]的最佳方式应在矩阵ak和ak+1之间断开，即最优的加括号方式应为(a[i:k])(a[k+1:j)。因此，从s[1][n]记录的信息可知计算a[1:n]的最优加括号方式为(a[1:s[1][n]])(a[s[1][n]+1:n])，进一步递推，a[1:s[1][n]]的最优加括号方式为(a[1:s[1][s[1][n]]])(a[s[1][s[1][n]]+1:s[1][s[1][n]]])。同理可以确定a[s[1][n]+1:n]的最优加括号方式在s[s[1][n]+1][n]处断开…照此递推下去，最终可以确定a[1:n]的最优完全加括号方式，及构造出问题的一个最优解。